現代量子化学計算において標準的な溶媒和モデルとして定着しているIEF-PCM（積分方程式形式・分極連続体モデル）について、その理論的基礎、積分方程式による厳密な導出、および異方性誘電体やイオン溶液への拡張性を包括的に解説する。D-PCMからの歴史的発展と、数値計算上の安定性をもたらす数学的背景に重点を置く。

量子化学計算におけるNMR化学シフト予測の標準的手法であるGIAO法について、Wolinski, Hinton, Pulay (1990) の研究を基軸に解説する。有限基底関数系におけるゲージ原点依存性問題の数理的背景、London軌道による解決策、および解析的微分法を応用した効率的な実装アルゴリズムについて詳述し、IGLO法やLORG法との比較を通じた優位性を論じる。

量子化学における溶媒和モデルの中で、溶質の電子密度等値面をキャビティとして定義するIPCM（Isodensity Polarizable Continuum Model）について詳述する。Foresmanら(1996)による定式化に基づき、その物理的な妥当性と、電子密度とキャビティ形状の結合が生む数値的な不安定性、および解析的微分における困難について数理的な観点から解説する。

Graeme HenkelmanとHannes Jónssonによって2000年に提案されたImproved Tangent NEB法について、その数理的背景、アルゴリズムの詳細、および従来のNEB法が抱えていた「Kink（屈折）」問題に対する解決策を包括的に解説する。ポテンシャルエネルギー曲面上の最小エネルギー経路（MEP）探索における接線ベクトルの定義の重要性、エネルギー重み付き接線による安定化機構、および実際の化学反応系への適用例について、中立的かつ学術的な視点から詳述する。

Sheppard, Terrell, Henkelman (2008) の研究に基づき、最小エネルギー経路（MEP）探索における最適化アルゴリズムの性能比較と理論的背景を詳述する。特に、準ニュートン法の一種であるL-BFGS法をNEB法の全自由度に対して適用する「Global L-BFGS」アプローチについて、そのアルゴリズムの詳細なステップ、非保存力場に対する有効性の物理的・数理的根拠、および実装における具体的な手続きを言語化して解説する。

John D. Head (1997) および Nicholas A. Besley (2007, 2008) らの研究に基づき、表面吸着種および生体高分子を対象とした部分ヘシアン法 (Partial Hessian Approach) の理論的背景、数理的定式化、および実用的な適用事例について詳述する。フルヘシアン計算の計算コストを大幅に削減しつつ、局所的な振動モードを記述するための近似手法としての妥当性と、振動数補正公式による収束性の評価について解説する。

量子化学における溶媒効果の取り扱いとして標準的な地位を確立しているPolarizable Continuum Model (PCM) について、その歴史的背景、数理的導出、および実用的な成果を包括的に解説する。特に、Poisson方程式に基づく静電相互作用の定式化、見かけの表面電荷（ASC）法、および積分方程式形式（IEF-PCM）への発展を数式を用いて詳述する。

Steven K. BurgerとWeitao Yangによって提案されたQuadratic String Method (QSM) について、その数理的背景、アルゴリズムの詳細、および従来のNudged Elastic Band (NEB) 法やString Method (SM) と比較した際の優位性を包括的に解説する。ポテンシャルエネルギー曲面上の最小エネルギー経路 (MEP) を特定するための多目的最適化フレームワーク、BFGS更新を用いたヘッセ行列の近似、および信頼半径内での適応的ステップサイズ制御について詳述する。

液体論における積分方程式理論の拡張であるRISM（Reference Interaction Site Model）法について、その統計力学的基礎、Ornstein-Zernike方程式からの導出、および量子化学計算（SCF法）との結合について包括的に解説する。ChandlerとAndersenによる基本概念の確立から、Ten-no、HirataらによるRISM-SCF法の展開、Kovalenkoによる3D-RISMへの拡張に至る歴史的背景を詳述するとともに、本手法が抱える数値的安定性の課題についてその物理的起源を論じる。

Juan M. Bofill (1998) の RS-I-RFO 法における遷移状態探索の数理的本質に焦点を当てる。特に、ヘシアン行列に対するハウスホルダー変換等のユニタリ変換を用いたスペクトル分解により、計算的困難な「鞍点（Saddle Point）探索」を、数学的に扱いやすい「極小値（Minimization）問題」へと再定式化するメカニズムについて、その導出過程と歴史的背景を含めて詳細に解説する。

ミネソタ大学のTruhlarグループによって開発された、全電子密度に基づく普遍的溶媒和モデル「SMD」について詳述する。従来のSMxシリーズで採用されていた部分電荷モデルからの脱却、IEF-PCMに基づく静電相互作用の記述、およびCDS項による非静電相互作用のパラメータ化手法について、その数学的背景と物理的意義を包括的に解説する。

量子化学計算（UHF/UDFT）において生じるスピン汚染の理論的背景と、全スピン角運動量 S^2 に基づく定量的な判定基準を詳説する。特に、数値的なアーチファクトと物理的実体を持つBroken Symmetry（対称性の破れ）解との峻別、およびGaussian等の計算パッケージにおける波動関数の安定性解析（stable=opt）の挙動について、SzaboやJensenらの成書を参照しつつ論じる。

Elfi Kraka (2011) によるレビュー論文に基づき、Miller, Handy, Adamsらによって定式化された反応経路ハミルトニアン (RPH) の理論的枠組みと、それを反応機構解析へと昇華させた統合反応谷解析法 (URVA) について詳述する。スカラー曲率と断熱内部座標モード (AICoMs) を用いた「反応フェーズ」の概念、および隠れた中間体・遷移状態の検出に関する数理的背景と実証例を網羅的に解説する。

Junwei Lucas Bao と Donald G. Truhlar によるレビュー論文 (Chem. Soc. Rev., 2017, 46, 7548) に基づき、変分的遷移状態理論 (VTST) の数理的基礎、歴史的変遷、および最新の多構造・多経路理論への拡張を詳細に解説する。従来の遷移状態理論の限界を克服し、再交差現象やトンネル効果を厳密に取り扱うための第一原理的アプローチを体系化する。

E. Wigner (1932) による古典統計力学のボルツマン因子に対する量子補正の導出過程を詳説する。位置と運動量の同時確率が定義できない量子力学において、位相空間上の準確率分布（Wigner関数）を導入し、ℏ 展開を用いて熱平衡状態の分布関数を記述する数理的枠組みと、その物理的解釈について論じる。