生成AIによる自動生成記事に関する免責事項: 本記事およびデモンストレーションコードは、ユーザーとの対話においてAIが生成したものです。記述されている数学的モデルやアルゴリズムの実装は、教育および可視化を主目的とした簡易的なものであり、厳密な学術研究用コードとは数値安定性や精度において異なる場合があります。

概要#

分子シミュレーションや計算化学において、ある安定状態（反応物）から別の安定状態（生成物）への遷移経路を知ることは極めて重要です。 本記事では、複雑なエネルギー地形として知られる Müller-Brownポテンシャル を題材に、String法（紐法） による最小エネルギー経路（MEP）探索をブラウザ上で体験できるデモを作成しました。

デモンストレーション#

以下のUIで、まずポテンシャル面を傾けて「無理やり」山を越える初期パスを作り、その後、String法で正しい経路へ緩和させてください。

遊び方・手順#

1. 初期パス生成: Tilt X (a) や Tilt Y (b) を操作してポテンシャルを傾け、開始点（M1）から目的の谷（M2など）へ粒子が転がるようにします。（例: $a \approx 0.8$）
2. 緩和 (Relaxation): Run String Method ボタンを押します。
3. 観察: 赤い点線（初期パス）から、緑の実線（緩和後のパス）へ変化する様子を観察します。下段のエネルギープロファイルを見ると、緩和によってエネルギー障壁（遷移状態の高さ）が下がっていることが確認できます。

アルゴリズム解説#

1. 初期パス生成 (Biased Descent)#

通常、エネルギー障壁がある場合、単なる最急降下法では隣の谷へ移動できません。そこで、人為的なバイアス項（傾き） $ax + by$ を加えたポテンシャル $V_{total}$ を考えます。

この傾いた面の上で最急降下法を行うことで、障壁を乗り越える「初期の粗いパス」を生成します。これはMDにおける「Steered MD」や「Metadynamics」の直感的なアナロジーとなります。

2. String法 (Zero-Temperature)#

初期パスが得られたら、元のポテンシャル $V_{MB}$（バイアスなし）に戻して緩和を行います。String法の手順は以下の通りです。

1. 時間発展: 経路上に配置した各ノード（イメージ）を、ポテンシャルの力の方向 $-\nabla V_{MB}$ に少しだけ動かします。
2. 再配置 (Reparameterization): ノードが谷底に落ちて偏らないように、経路の長さに沿って等間隔になるようノードを再配置します。

これを繰り返すことで、紐（String）は自然に 最小エネルギー経路（MEP: Minimum Energy Path） へと収束します。MEPは鞍点（Saddle Point）を通る、反応における最も確率の高い経路に対応します。

参考文献#

1. Müller-Brown Potential K. Müller, L. D. Brown, “Location of Saddle Points and Minimum Energy Paths by a Constrained Simplex Optimization Procedure”, Theoretica Chimica Acta, 1979, 53, 75-93.
2. String Method (Zero-Temperature) W. E, W. Ren, E. Vanden-Eijnden, “String method for the study of rare events”, Physical Review B, 2002, 66, 052301.