last_modified: 2026-01-19

生成AIによる自動生成記事に関する免責事項: 本記事は、微分幾何学および物理学史に関する学術的資料に基づき、大規模言語モデルによって作成された解説記事です。記述内容は歴史的事実と数学的定義に基づき正確性を期していますが、厳密な数学的証明や詳細な歴史的解釈については、必ず末尾の参考文献を参照してください。また、歴史的解釈に関しては生成AIと著者の一解釈に過ぎない点も一部あります。ホイッグ史観的に感じて不快になる方もいらっしゃるかもしれませんがご留意ください。

1. 序論#

微分積分学は、ユークリッド空間（平坦な空間）における関数の変化率を記述する言語として発展した。直交座標系においては、偏微分操作は座標変換に対して単純な法則に従うが、極座標のような曲線座標系や、そもそも空間自体が曲率を持つリーマン多様体上においては、通常の偏微分はベクトルとしての変換性を失う。

物理法則が座標系の選択に依存せず成立すべきであるという要請（一般共変性原理）を満たすためには、座標変換に対してテンソルとして振る舞う微分演算、すなわち**共変微分（Covariant Derivative）**の定義が不可欠となる。本稿では、19世紀中盤から20世紀初頭にかけての数学的発展を辿りつつ、共変微分の数学的導出とその物理的必然性について論じる。

2. 歴史的背景：内在的幾何学の誕生と形式化#

共変微分の概念は、単一の天才によって完成されたものではなく、半世紀にわたる数学者たちのリレーによって確立された体系である。

2.1 ガウスとリーマン：内在的視点の確立（1827-1854）#

カール・フリードリヒ・ガウス（C.F. Gauss）は、1827年の著書『曲面の一般研究』において、曲面を3次元空間に埋め込まれた物体としてではなく、曲面そのものの性質（内在的幾何学）として扱う視点を提示した。彼は曲率が曲面上の距離測定のみから決定できることを示した（Theorema Egregium）。

ベルンハルト・リーマン（B. Riemann）は、ガウスの着想を高次元へと拡張した。1854年の教授資格取得講演『幾何学の基礎にある仮説について』において、彼は空間を局所的にユークリッド的な多様体（Manifold）として定義し、距離の二乗 $ds^2$ を計量テンソル $g_{ij}$ を用いて以下のように記述した。

$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij} dx^i dx^j$

リーマンの功績は、空間の「曲がり」を計量 $g_{ij}$ の関数として記述する枠組みを与えたことにあるが、この段階ではテンソル解析の計算手法は未完成であった。

2.2 クリストッフェル：微分の補正項（1869）#

エルウィン・クリストッフェル（E.B. Christoffel）は、1869年の論文において、不変量に関する形式的な解析を行い、今日「クリストッフェル記号（Christoffel symbols）」と呼ばれる3階の指数を持つ量 $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ を導入した。彼はこれを、座標変換に伴う微分のズレを補正するための代数的な対象として導出した。これは後に、曲がった空間における「接続（connection）」の具体的表現として再評価されることになる。

2.3 リッチとレヴィ＝チヴィタ：絶対微分学の完成（1900）#

グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ（G. Ricci-Curbastro）と、その弟子トゥリオ・レヴィ＝チヴィタ（T. Levi-Civita）は、これまでの成果を統合し、1900年に『絶対微分学の方法とその応用（Méthodes du calcul différentiel absolu et leurs applications）』を発表した。 彼らは、座標系に依存しない幾何学的対象としての「テンソル」の概念を明確化し、テンソルの成分が共変微分によってどのように変換されるかを体系化した。特にレヴィ＝チヴィタは、後に「平行移動」の幾何学的概念を導入し、数式上の形式であった共変微分に直観的な意味を与えた。（現代ではこの絶対微分学はテンソル解析と呼ばれている。）

2.4 アインシュタイン：物理学への適用（1915）#

アルベルト・アインシュタイン（A. Einstein）は、特殊相対性理論から一般相対性理論への拡張を模索する中で、重力を時空の幾何学的歪みとして記述する必要性に直面した。数学者マルセル・グロスマン（M. Grossmann）の助言によりリッチとレヴィ＝チヴィタの研究を知ったアインシュタインは、絶対微分学を物理学の言語として採用した。 等価原理に基づき、物理法則を任意の一般座標系で記述するためには、方程式がテンソル形式（共変形式）で書かれなければならない。アインシュタイン方程式の定式化は、共変微分の物理学的有用性を決定づける成果であった。

3. 数学的導出と理論構成#

ここでは、現代的なベクトル解析の表記を用いつつ、共変微分の定義を自然な形で導出する。

3.1 曲線座標系における基底ベクトル#

$n$ 次元多様体上の曲線座標系を $x^\mu$ ($\mu = 1, \dots, n$) とする。位置ベクトル $\mathbf{r}$ の各座標方向への偏微分は、接空間の基底ベクトル $\mathbf{e}_\mu$ を定義する。

$\mathbf{e}_\mu = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x^\mu}$

一般の曲線座標系において、これらの基底ベクトルは定数ではなく、位置 $x$ に依存して変化する。これが、平坦な空間におけるデカルト座標系（基底が定ベクトル）との決定的な差異である。

3.2 ベクトルの微分とクリストッフェル記号の導入#

任意のベクトル場 $\mathbf{V}$ は、成分 $V^\mu$ と基底 $\mathbf{e}_\mu$ を用いて $\mathbf{V} = V^\mu \mathbf{e}_\mu$ （アインシュタインの縮約記法を使用）と表される。このベクトル場を座標 $x^\nu$ で偏微分することを考える。積の微分法則（Leibniz rule）を適用すると以下のようになる。

$\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x^\nu} = \frac{\partial (V^\mu \mathbf{e}_\mu)}{\partial x^\nu} = \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\nu} \mathbf{e}_\mu + V^\mu \frac{\partial \mathbf{e}_\mu}{\partial x^\nu}$

第1項は成分の単純な偏微分であるが、第2項には基底ベクトルの微分が含まれている。基底ベクトル $\mathbf{e}_\mu$ の微分 $\frac{\partial \mathbf{e}_\mu}{\partial x^\nu}$ もまたベクトルであるため、これを再び基底 $\mathbf{e}_\lambda$ の線形結合として展開することができる。このときの展開係数がクリストッフェル記号（第2種） $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ である。

$\frac{\partial \mathbf{e}_\mu}{\partial x^\nu} = \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \mathbf{e}_\lambda$

この定義を先の式に代入し、添字を整理すると以下の結果が得られる。

ここで、括弧内の項を、ベクトル $V$ の成分 $V^\lambda$ の**共変微分（Covariant Derivative）**と定義し、$\nabla_\nu V^\lambda$ あるいは $V^\lambda_{;\nu}$ と表記する。

$\nabla_\nu V^\lambda \equiv \partial_\nu V^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} V^\mu$

この導出過程から明らかなように、共変微分とは「基底ベクトルの変化（空間の曲がりや座標の歪み）を考慮に入れた、真の微係数」であると言える。

3.3 計量テンソルとの関係（レヴィ＝チヴィタ接続）#

クリストッフェル記号は、計量テンソル $g_{\mu\nu} = \mathbf{e}_\mu \cdot \mathbf{e}_\nu$ とその微分を用いて具体的に記述することができる。計量条件（metric compatibility）、すなわち計量テンソルの共変微分がゼロになるという条件（$\nabla_\lambda g_{\mu\nu} = 0$）と、捩率テンソルがゼロであるという条件を課すことで、以下の関係式が一意に導かれる。

$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\rho} \left( \frac{\partial g_{\rho\mu}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial g_{\rho\nu}}{\partial x^\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\rho} \right)$

これは、計量（距離の定義）さえ与えられれば、空間の接続構造が一意に定まることを意味しており、一般相対性理論における時空構造の決定において中心的な役割を果たす。

4. 幾何学的解釈：平行移動#

共変微分の概念は、「平行移動（Parallel Transport）」と密接に関連している。ユークリッド空間では、ベクトルを「平行に」移動させることは自明であるが、曲面上の移動においては自明ではない（例：球面上でのベクトルの移動）。

曲線 $x^\mu(\tau)$ に沿ってベクトル場 $V^\mu$ を平行移動させる条件は、その方向に沿った共変微分がゼロであることと定義される。

$\frac{D V^\mu}{d\tau} \equiv \frac{d x^\nu}{d\tau} \nabla_\nu V^\mu = \frac{d V^\mu}{d\tau} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \frac{d x^\nu}{d\tau} V^\lambda = 0$

この微分方程式は、ある点でのベクトルを近傍の点へ「幾何学的な意味を変えずに」運ぶための規則を定めている。リーマン曲率テンソルは、ある閉曲線に沿ってベクトルを平行移動させて元の位置に戻したとき、ベクトルが元の方向とどれだけズレるかを表す量として定義され、共変微分の交換関係の不一致（$[\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\lambda \neq 0$）から導出される。

5. 実利的な成果と物理学へのインパクト#

共変微分とその体系であるテンソル解析の確立は、純粋数学的な成果に留まらず、物理学と工学に多大な影響を与えた。

5.1 一般相対性理論の記述言語#

アインシュタインの重力場の方程式は、共変微分なくしては記述不可能である。

$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$

左辺のアインシュタイン・テンソルは、計量テンソルの2階共変微分を含む複雑な量である。物質のエネルギー・運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ の保存則も、通常の偏微分ではなく共変微分を用いて $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ と記述される。これにより、重力場中でもエネルギー保存則が（共変的な意味で）成立することが保証される。

5.2 連続体力学と流体力学#

一般相対性理論に限らず、曲面上の流体運動や、変形する連続体の力学においても共変微分は必須となる。例えば、地球という球面上を流れる大気の力学（気象学）や、複雑な形状を持つシェル構造の応力解析において、曲線座標系での支配方程式を記述するために用いられる。ナビエ・ストークス方程式を一般座標で書き下す際、粘性項に現れるラプラシアンは共変微分を用いて再定義される。

5.3 制御工学とロボティクス#

近年では、ロボットアームの動作計画やドローンの制御において、リーマン幾何学的なアプローチが採用されている。ロボットの状態空間（配位空間）は非ユークリッド的な多様体となることが多く、その上での最適な軌道生成（測地線方程式の解法）には、クリストッフェル記号を用いた運動方程式の記述が必要不可欠である。

6. 結論#

ガウスによる曲面論の提唱から始まり、リーマン、クリストッフェル、リッチ、レヴィ＝チヴィタによって整備された絶対微分学（テンソル解析）は、共変微分という強力な道具を生み出した。 共変微分 $\nabla_\mu$ は、単なる記号の操作規則ではなく、座標系の選び方に依存しない「物理的実在としての変化」を抽出するための数学的フィルターである。 アインシュタインが一般相対性理論においてこの数学体系を採用したことで、幾何学と物理学は不可分な形で統合された。現代において、この枠組みは素粒子物理学のゲージ理論（共変微分はゲージ接続に対応する）から情報幾何学に至るまで、広範な科学分野の共通言語として機能している。

7. 計算化学における具体的応用：カーテシアン座標から内部座標へ#

※ 本節は計算化学・分子分光の専門知識を前提とする。

前章までに述べたリーマン幾何学と共変微分の概念は、物理学の基礎理論のみならず、現代の計算化学（Computational Chemistry）において、分子の振動解析や反応経路探索を行う上で極めて実用的な意味を持っている。 分子系を記述する際、原子核の位置を表す$3N$個のカーテシアン座標（直交座標）は運動エネルギーの記述を単純化するが、化学的直観やポテンシャルエネルギー曲面の記述には、結合長や結合角といった「内部座標（Curvilinear Coordinates）」が適している。この座標変換の過程で、リーマン幾何学の形式が必然的に現れる。

7.1 計量テンソルとウィルソンのG行列#

$N$原子分子の核配置を記述するために、質量で重み付けされたカーテシアン座標 $x^i$ ($i=1, \dots, 3N$) から、一般化座標（内部座標） $q^\mu$ ($\mu=1, \dots, 3N-6$) への非線形変換を考える。

$q^\mu = q^\mu(x^1, \dots, x^{3N})$

このとき、カーテシアン空間は平坦（ユークリッド的）であるが、内部座標系は曲線座標系となる。この曲線座標系における計量テンソル $g_{\mu\nu}$（の逆行列）は、分子分光学の分野において**ウィルソンのG行列（Wilson’s G-matrix）**として知られるものに対応する。

$G^{\mu\nu} = \sum_{k=1}^{3N} \frac{\partial q^\mu}{\partial x^k} \frac{\partial q^\nu}{\partial x^k} \frac{1}{m_k}$

ここで $m_k$ は対応する原子の質量である。この $G^{\mu\nu}$ は、まさに曲がった座標系（内部座標空間）における計量テンソルの逆成分 $g^{\mu\nu}$ そのものであり、運動項の記述において中心的な役割を果たす。

7.2 ポドルスキーの公式と量子ハミルトニアン#

シュレーディンガー方程式を解くためには、ハミルトニアンに含まれる運動エネルギー演算子（ラプラシアン $\nabla^2$）を内部座標 $q^\mu$ で表現する必要がある。 カーテシアン座標では $\nabla^2 = \sum \partial_i^2$ と単純な形式であるが、曲線座標系においては、チェーンルールを単純に適用するだけでは不十分であり、ヤコビアン（計量テンソルの行列式 $g = \det(g_{\mu\nu})$）を考慮した**ラプラス＝ベルトラミ演算子（Laplace-Beltrami operator）**を用いなければならない。

これは1928年、ボリス・ポドルスキー（B. Podolsky）によって量子力学の問題として定式化された。

$\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2} \Delta_{LB} = -\frac{\hbar^2}{2} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^\mu} \left( \sqrt{g} g^{\mu\nu} \frac{\partial}{\partial q^\nu} \right)$

上式を展開すると、計量テンソルの微分項が現れるが、これは幾何学的にはクリストッフェル記号 $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ を含んだ共変微分によって、波動関数の勾配の発散（div grad）を計算していることと等価である。 計算化学において、変角振動やねじれ振動を扱う際、この「曲がった座標」に由来する項を無視すると、スペクトルの計算結果に誤ったシフトが生じることが知られている。

7.3 構造最適化における共変ヘシアン#

分子の安定構造（平衡核配置）を探索する構造最適化問題において、ニュートン法などの二次収束アルゴリズムを用いる場合、エネルギーの二階微分であるヘシアン行列（Hessian matrix）が必要となる。

ポテンシャルエネルギー曲面 $V(q)$ 上で、内部座標 $q$ を用いて勾配ベクトル（1形式）の微分を計算する際、真のヘシアン成分 $\mathcal{H}_{\mu\nu}$ は、単なる偏微分の2回適用ではなく、共変微分を用いて定義されなければならない。

$\mathcal{H}_{\mu\nu} = \nabla_\mu (\nabla_\nu V) = \frac{\partial^2 V}{\partial q^\mu \partial q^\nu} - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{\partial V}{\partial q^\lambda}$

第2項は接続（クリストッフェル記号）に由来する補正項である。

• 平坦な座標（カーテシアン）: $\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = 0$ であるため、$\mathcal{H}_{ij} = \partial_i \partial_j V$ となる。
• 曲がった座標（内部座標）: $\Gamma^\lambda_{\mu\nu} \neq 0$ となり、特にポテンシャル面が平坦に近い領域（$\partial V / \partial q$ が小さい）でない限り、この補正項は無視できない寄与を持つ。

実用的な量子化学計算パッケージにおいては、内部座標での最適化を行う際、この幾何学的補正項を考慮するか、あるいはカーテシアン座標でヘシアンを計算してからテンソル変換則に従って内部座標へ変換することで、この数学的整合性を保っている。これは、微分幾何学における「共変性」の要請が、アルゴリズムの数値的安定性に直結している好例である。

参考文献#

1. Gauss, C. F. (1827). Disquisitiones generales circa superficies curvas. Typis Dieterichianis.
2. Riemann, B. (1854). Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. (Habilitationsschrift).
3. Christoffel, E. B. (1869). Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 70, 46-70.
4. Ricci, G., & Levi-Civita, T. (1900). Méthodes du calcul différentiel absolu et leurs applications. Mathematische Annalen, 54, 125-201.
5. Einstein, A. (1916). Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, 354(7), 769-822.
6. Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman.
7. Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1975). The Classical Theory of Fields (4th ed.). Butterworth-Heinemann.
8. Podolsky, B. (1928). Quantum-Mechanically Correct Form of Hamiltonian Function for Conservative Systems. Physical Review, 32(5), 812.
9. Wilson, E. B., Decius, J. C., & Cross, P. C. (1955). Molecular Vibrations: The Theory of Infrared and Raman Vibrational Spectra. McGraw-Hill.