last_modified: 2026-01-22
生成AIによる自動生成記事に関する免責事項: 本記事は、参考文献に示した論文の内容に基づき、大規模言語モデルによって作成された解説記事です。記述内容は論文内の数理的定義と実験結果に基づき正確性を期していますが、詳細な実装やパラメータについては、必ず末尾の参考文献（元論文）を参照してください。
1. 序論
電気陰性度（Electronegativity）は、分子内の原子が電子を引き寄せる能力を記述する指標である。L. PaulingやR. S. Mullikenによる定義は化学的有用性が高い反面、経験的あるいは半定量的な性質を有していた。
1978年、R. G. Parrらは論文『Electronegativity: The density functional viewpoint』において、Hohenberg-Kohnの密度汎関数理論（DFT）を用い、電気陰性度を系の電子数に対する全エネルギーの変化率、すなわち「化学ポテンシャル」の負数として定式化した [1]。
本稿では、同論文の理論的枠組みに基づき、電気陰性度のDFTによる定義、Mullikenの定義との数学的関係、および軌道電気陰性度の均等化について、その適用限界と数理的背景を含めて記述する。
2. 理論的背景：Hohenberg-Kohnの定理
本議論は、Hohenberg-Kohnによる密度汎関数理論の基本定理に基づく [2]。
2.1 エネルギー汎関数
第一定理により、非縮退基底状態にある系の性質は電子密度 により決定される。電子エネルギー は以下の汎関数として記述される。
ここで は外部ポテンシャル、 は電子の運動エネルギーと電子間相互作用エネルギーを含む普遍的汎関数である。
2.2 変分原理と化学ポテンシャル
第二定理（変分原理）により、電子数 が一定という条件下（）で、エネルギー汎関数は真の密度において最小値をとる。Lagrangeの未定乗数法を用いた条件付き最小化は以下の通りである [1]。
これより導かれるEuler-Lagrange方程式は以下の形となる。
ここでのLagrange乗数 は、熱力学との類推から「化学ポテンシャル」と同定される。
3. 電気陰性度の数学的定義
3.1 化学ポテンシャルとの等価性
Lagrange乗数 は、外部ポテンシャル 固定下での、電子数 に対するエネルギー変化率として定義される。
Parrらは、電気陰性度 をこの化学ポテンシャルの負数として定義した [1]。
注記（分数電子と微分不連続）： 厳密なDFTにおいては、全エネルギー は整数電子数の間で区分的に線形（piecewise linear）に変化し、整数点では微分が不連続となる（Derivative Discontinuity）。このため式(4)(5)の意味は、Perdew-Parr-Levy-Balduz (PPLB) の枠組みのように分数電子数を含むアンサンブル拡張を採ることで解釈される必要がある [6]。具体的には左右極限が以下のように記述される点は明記しておくべきである。
ここで はイオン化エネルギー、 は電子親和力である。
3.2 空間的定数性
式(3)は、平衡状態にある基底状態の系において、化学ポテンシャル が空間上の位置 によらず一定であることを示している。これはSandersonの「電気陰性度均等化の原理」[5] の理論的基礎となるが、あくまで基底状態かつ平衡条件下での理論的帰結であり、励起状態や非平衡系、局所準位差が支配的な系では直接適用できない点に留意する。
4. 従来の尺度および物理量との関係
4.1 イオン化エネルギーおよび電子親和力との接続
電子数 の変化に対するエネルギー を、 周りで有限差分近似することで、Mullikenの電気陰性度 との整合性が検証される [1]。 エネルギー曲線を の二次関数で近似できると仮定した場合、以下の関係が成立する。
ただし、前述の分数電子数の扱いと微分不連続性が顕著な場合には、この関係は近似にとどまる。実務上は、有限差分（実際の を用いる）による推定がしばしば用いられる。
4.2 Gibbs-Duhemの類似式（形式的アナロジー）
DFTの文脈で導かれる次の式は、熱力学のGibbs-Duhem式と形式的に類似している。
ここで は汎関数に由来する特定の項であり、式(7)はDFT内でのパラメータ変化に関する形式的関係を示すに過ぎないことを明示しておく。
5. 軌道電気陰性度の均等化
Parrらは、変分原理の帰結として「軌道電気陰性度」の均等化を示した [1]。電子密度を自然軌道 と占有数 で展開し、全エネルギーを で変分すると以下の条件が得られる。
これは、変分空間における占有数に対するエネルギー応答（軌道ごとのエネルギー変化率）が等しくなることを意味する。
注記：
- この は、自然軌道と占有数を独立変数とする汎関数微分に関するものであり、直接にKohn-Shamの軌道エネルギー と同一視すべきではない。
- Janakの定理（Kohn-Sham DFTの下で ）はKohn-Sham表現内で成り立つ重要な関係だが、Parrの「全軌道等化」は変分条件に基づく一般的な結果であり、両者は文脈（表現）を区別して扱う必要がある。
- 分数占有や微分不連続を含む正確理論において、軌道準位と化学ポテンシャルの関係には注意が必要である。
6. ギャップ（Fundamental Gap）についての補足
DFTにおける重要な帰結の一つに、基底状態における真の（fundamental）ギャップとKohn-Sham（単一粒子）ギャップの間に差があり、その差は交換相関汎関数の微分不連続（）によって与えられるという点がある。
この事実は、電気陰性度・化学ポテンシャルの議論を実用計算に持ち込む際の重要な注意点となる（特にギャップや反応性指標を評価する場合）。
7. 結論
Parrらの1978年の研究は、電気陰性度を密度汎関数理論における化学ポテンシャルと関連付けることで、物理的定義を与えた。主な結論は次の通りである。
- 定義: 電気陰性度 は化学ポテンシャル の負数である（）。ただしこの式の厳密解釈には分数電子数のアンサンブル拡張が関わる。
- 均等化: 平衡基底状態において、化学ポテンシャルは系全体で一定となる（理論的帰結）。
- 整合性: の二次近似・有限差分の範囲内で、Mulliken尺度と整合するが、微分不連続が顕著な場合は近似にとどまる。
この理論は、化学反応性指標（Hardness/Softness等）の基礎を築いた点で重要であるが、実務的応用には分数電子の取り扱い、 の形状、KS表現と汎関数近似の限界に関する理解が不可欠である。
参考文献
- R. G. Parr, R. A. Donnelly, M. Levy, and W. E. Palke, “Electronegativity: The density functional viewpoint,” J. Chem. Phys. 68, 3801-3807 (1978).
- P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864 (1964).
- W. Kohn and L. J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
- R. S. Mulliken, J. Chem. Phys. 2, 782 (1934).
- R. T. Sanderson, Science 114, 670 (1951).
- J. P. Perdew, R. G. Parr, M. Levy, and J. L. Balduz, Jr., “Density-Functional Theory for Fractional Particle Number: Derivative Discontinuities of the Energy,” Phys. Rev. Lett. 49, 1691 (1982).
補遺：化学的硬度・軟度および局所反応性指標の理論的展開
1. 化学的硬度（Hardness）と軟度の理論的背景
電気陰性度 （化学ポテンシャル の負数）が、系における電子の移動傾向を示す一次の指標であるのに対し、化学的硬度（Chemical Hardness, ）は、電子数変化に対する化学ポテンシャルの抵抗性を示す二次の指標として定義される。
1.1 エネルギーのTaylor展開と硬度の定義
電子数 の微小変化に対するエネルギー の変化 を、基準状態 の周りで二次までTaylor展開する。ParrとPearsonの標準的な定義に従い、二次項の係数を を含んだ形で以下のように記述する。
\Delta E = \mu \Delta N + \frac{1}{2} \eta (\Delta N)^2 \tag{A1}
ここで、一次係数 は化学ポテンシャル であり、二次係数 が「化学的硬度」である。すなわち、硬度は化学ポテンシャルの電子数微分、あるいはエネルギーの二次微分そのものとして定義される（係数 の扱いは文献により異なるが、本稿ではParr-Pearsonの慣例に従う）。
\eta = \left( \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \right)_v \approx \frac{\partial \mu}{\partial N} \tag{A2}
また、硬度の逆数は「軟度（Softness, ）」と定義され、外部ポテンシャル固定下における化学ポテンシャル変化に対する電子数の応答を表す。
S = \frac{1}{\eta} = \left( \frac{\partial N}{\partial \mu} \right)_v \tag{A3}
1.2 有限差分近似と物理的解釈
エネルギーの微分を有限差分（ のエネルギー差）で近似する場合、硬度 はイオン化エネルギー と電子親和力 を用いて以下の関係式で表される。 \eta \approx I - A \quad (\text{もしくは定義により } \frac{1}{2}(I-A)) \tag{A4}
注記： 1983年のParr-Pearsonの原著論文やHSAB則の文脈では、 と定義し、 とする流儀が一般的である。一方、Parr et al. (1999) 等の文献では、式(A1)のように展開係数に を明示的に出し、 自体を二次導関数（）と置く場合がある。実用計算においては、この係数因子（1か1/2か）の定義を確認する必要があるが、いずれにせよ はHOMO-LUMOギャップ（Fundamental Gap）に相関する物理量である。
2. 局所反応性指標：Fukui関数の導出
化学ポテンシャルや硬度は系全体の反応性（Global Reactivity）を記述するが、分子内の「どの位置で」反応が起こるかを予測するには局所的な指標が必要となる。ParrとYang（1984）は、これを密度汎関数理論の枠内で定式化した。
2.1 Fukui関数の定義
外部ポテンシャル の変化に対する化学ポテンシャル の応答、あるいは電子数 の変化に対する電子密度 の応答として、以下の関数 が定義される。
f(\mathbf{r}) \equiv \left( \frac{\delta \mu}{\delta v(\mathbf{r})} \right)_N = \left( \frac{\partial \rho(\mathbf{r})}{\partial N} \right)_v \tag{A5}
この右辺の等式は、熱力学におけるMaxwellの関係式に相当する。この関数 は、フロンティア電子理論における電子密度の役割を汎関数理論的に裏付けるものであり、「Fukui関数（Fukui Function）」と呼ばれる。
2.2 反応形式による分類とFMO理論への接続
エネルギー微分の不連続性に起因して、電子密度の電子数微分もまた不連続性を持つ。したがって、攻撃化学種の種類に応じて以下の3つのFukui関数が定義される。求電子攻撃に対するFukui関数 :電子が除去される際の密度変化に対応する。
f^-(\mathbf{r}) = \left( \frac{\partial \rho(\mathbf{r})}{\partial N} \right)^- \tag{A6}
求核攻撃に対するFukui関数 :電子が付加される際の密度変化に対応する。
f^+(\mathbf{r}) = \left( \frac{\partial \rho(\mathbf{r})}{\partial N} \right)^+ \tag{A7}
これらを実際の分子軌道と結びつける際、**凍結コア近似（Frozen Core Approximation）**および原子価軌道の緩和を無視する近似を導入することで、以下の古典的なフロンティア軌道理論との対応関係が得られる。
f^-(\mathbf{r}) &\approx \rho_{\text{HOMO}}(\mathbf{r}) \\ f^+(\mathbf{r}) &\approx \rho_{\text{LUMO}}(\mathbf{r}) \end{aligned} \tag{A8}$$ この導出により、古典的FMO理論は「化学ポテンシャルの変化を最大化する方向（Fukui関数が大きな場所）で反応が進行する」というDFTの変分原理的帰結として位置づけられる。 ### 3. 哲学的考察：電気陰性度の物理的実在性について 物理学において、質量や体積は直接測定可能な「観測量（Observable）」である。これに対し、密度汎関数理論における電気陰性度 $\chi$ や化学ポテンシャル $\mu$ は、厳密には「準観測量（Quasi-observable）」あるいは「理論的記述子（Theoretical Descriptor）」としての性質を持つ。 #### 3.1 粒子数の離散性と微分の定義不能性 現実の孤立系において、電子数 $N$ は整数値しか取り得ない。したがって、実験的に観測できるのは $E(N)$、$E(N-1)$、$E(N+1)$ といった離散的なエネルギー点のみである。数学的な定義 $\mu = \partial E / \partial N$ は、電子数を連続変数とみなすグランドカノニカルアンサンブル（有限温度あるいは分数占有数の導入）という理論的拡張を行った枠組みでのみモデル化される概念である。 #### 3.2 状態量と応答関数の差異 電気陰性度は、原子そのものが内包する静的な物理量ではなく、外部摂動（化学反応、結合形成に伴う電子移動）に対する「応答の傾向（Propensity）」を記述するパラメータである。Parrらが示した通り、これは化学ポテンシャルというLagrange乗数として数理的に要請される量であり、その値は $E(N)$ 曲線をどのように補間するかというモデル（二次関数、有理関数、指数関数など）に依存する。 #### 3.3 観測量からの構成 しかしながら、電気陰性度が物理的実体を持たないわけではない。それは $I$（イオン化エネルギー）や $A$（電子親和力）という確固たる実験観測量から構成される物理量であり、分子の平衡状態や反応性を記述する上で不可欠な役割を果たしている。したがって、電気陰性度は「直接観測量ではないが、観測量に強く立脚した、有用な理論的構成物」と捉えるのが妥当である。 ## 補遺2：親電子性指数と電気陰性度均等化原理 本節では、反応性指標としての親電子性指数 $\omega$ の導出、局所軟度 $s(\mathbf{r})$ による反応サイトの特定、およびこれらが「電気陰性度均等化（Electronegativity Equalization）」という一般的原理とどのように接続されるかを記述する。 ### 1. 親電子性指数（Electrophilicity Index, $\omega$） 親電子性指数 $\omega$ は、Parr, Szentpály, Liu (1999) によって提案された、化学種が電子を受容してエネルギー的に安定化する能力（親電子力）を定量評価する大域的指標である。 #### 1.1 定義と導出 化学種（配位子等）を、化学ポテンシャル $\mu = 0$ の「電子の海（理想的な電子リザーバー）」に浸したと仮定する 。この系において、電子移動 $\Delta N$ に伴うエネルギー変化 $\Delta E$ を二次までTaylor展開すると以下の式が得られる 。$$\Delta E = \mu \Delta N + \frac{1}{2} \eta (\Delta N)^2 \tag{B1}$$ここで、$\mu$ は化学ポテンシャル（電気陰性度の負数）、$\eta$ は化学的硬度（$\partial^2 E / \partial N^2$）である 。系が電子により飽和し、リザーバーとの化学ポテンシャルが平衡（$\mu_{\text{final}} = 0$）に達するとき、エネルギー変分条件 $d(\Delta E)/d(\Delta N) = 0$ より、最大電子受容量 $\Delta N_{\max}$ は以下となる 5。$$\Delta N_{\max} = -\frac{\mu}{\eta} \tag{B2}$$この $\Delta N_{\max}$ を式(B1)に代入することで得られるエネルギー安定化量（の符号反転値）が、親電子性指数 $\omega$ として定義される 。$$\omega \equiv \frac{\mu^2}{2\eta} \tag{B3}$$ #### 1.2 物理的解釈 エネルギー的尺度: $\omega$ は、ある化学種が外部から電子を最大限受け入れた際に得られるエネルギー利得の最大値を表す。 電気的アナロジー: 古典電磁気学における電力の式 $P = V^2 / R$ との形式的類似性（$\mu \leftrightarrow V, \eta \leftrightarrow R$）から、Parrらはこれを「親電子パワー（electrophilic power）」と表現している。 ### 2. 局所軟度と反応座標の結合 系全体の反応性を記述する $\omega$ に対し、空間的な反応位置を特定するために局所軟度 $s(\mathbf{r})$ が導入される。 #### 2.1 局所軟度 $s(\mathbf{r})$ の定義 局所軟度は、大域的軟度 $S$（硬度の逆数）にFukui関数 $f(\mathbf{r})$ を乗じたものとして定義される。$$s(\mathbf{r}) = S f(\mathbf{r}) \tag{B4}$$これは、化学ポテンシャルの変化に対する電子密度の局所的な応答感度を表す。$$s(\mathbf{r}) = \left( \frac{\partial \rho(\mathbf{r})}{\partial \mu} \right)_v \tag{B5}$$ #### 2.2 化学ポテンシャル最大化と反応方向 ParrとYang（1984）は、化学反応の初期段階において、化学種の接近方向は「系の化学ポテンシャル $\mu$ の変化 $d\mu$ を最大化する方向」に従うという原理を示した 9999。化学ポテンシャルの全微分は以下のように記述される。 $$d\mu = 2\eta dN + \int f(\mathbf{r}) dv(\mathbf{r}) d\mathbf{r} \tag{B6}$$ 第一項（大域的項）: 電子移動量 $dN$ に依存する項であり、方向依存性は低い。 第二項（局所的項）: 外部ポテンシャル $v(\mathbf{r})$ の変化（化学種の接近）とFukui関数 $f(\mathbf{r})$ の積の積分であり、化学種の配向に強く依存する。 この原理により、求核化学種あるいは求電子化学種は、Fukui関数（または局所軟度）が大きな値を持つ領域に対して、積分値を最大化するように接近することが理論的に説明される。 (注: 式(B6)の係数 $2\eta$ は、1984年論文における $\eta = \frac{1}{2}(\partial \mu/\partial N)$ という定義に由来する。本稿で採用した $\eta = (\partial \mu/\partial N)$ の定義下では係数は $1$ となるが、物理的本質は変わらない) ### 3. 電気陰性度均等化（EE）原理との接続 上述のDFTに基づく指標は、Sandersonの電気陰性度均等化原理（Electronegativity Equalization Principle）および、それを実装した数値モデル（EEM, QEq等）と密接な理論的対応関係にある。 #### 3.1 原理とモデルの区別 EE原理（Theory）: 平衡状態にある系において、化学ポテンシャル（電気陰性度）は系全体で空間的に均一な値をとる（$\nabla \mu = 0$）という熱力学的要請。DFTの変分原理から厳密に導かれる。 EEモデル（Model）: 上記原理を原子電荷 $q_i$ を変数とする古典的エネルギー式に近似・離散化した計算手法（Electronegativity Equalization Method/Model）。 #### 3.2 DFTとEEモデルの対応式 (B1)で示したエネルギーのTaylor展開は、EEモデルの基礎方程式と形式的に対応する。EEモデルでは、全エネルギー $E$ を原子ごとの寄与に分割し、原子電荷 $q_i$ で二次展開する。 $$E(\{q_i\}) \approx E_0 + \sum_i \chi_i q_i + \frac{1}{2} \sum_i \eta_i q_i^2 + \text{Coulomb項} \tag{B7}$$ この離散化モデルにおける各パラメータは、DFTの連続量と以下のように対応する。化学ポテンシャル $\mu$: EEモデルにおける平衡制約条件（全ての原子で $\chi_{\text{eff}}$ が等しくなる）に対応する。硬度 $\eta$: EEモデルにおける原子硬度パラメータ $J_i$（または $\eta_i$）に対応し、電荷の蓄積に対する抵抗を表す。親電子性指数 $\omega$: EEモデルのエネルギー式を全体系で最小化した際に得られる、電子受容に伴う「系全体のエネルギー安定化エネルギー」に相当する。すなわち、EEモデルは、DFTにおける「化学ポテンシャルの均等化」と「最大硬度の原理」を、原子レベルの粗視化モデルとして工学的に実装したものと解釈できる。親電子性指数 $\omega$ や局所軟度 $s(\mathbf{r})$ は、このEEモデルの背後にある厳密な電子論的基盤を与えている。 ## 補遺3：局所親電子性指数と現代的計算手法への展開 本節では、親電子性指数 $\omega$ の局所的記述子への拡張、HSAB則と電気陰性度均等化（EE）原理の統合的理解、およびこれらの概念的DFT（Conceptual DFT）が現代の半経験的量子化学計算（GFN-xTB等）においてどのように実装されているかについて記述する。 ### 1. 局所親電子性指数（Local Electrophilicity, $\omega(\mathbf{r})$） 大域的な親電子性指数 $\omega$ は、系全体の電子受容能力を示すが、分子内の特定の反応サイトを予測するためには、これを空間分解する必要がある。Chattarajらは、局所軟度やFukui関数の定義と同様に、以下の局所親電子性指数 $\omega(\mathbf{r})$ を導入した 。 $$\omega(\mathbf{r}) \equiv \omega f^+(\mathbf{r}) \tag{C1}$$ #### 1.1 物理的意味 分配原理: 大域的な親電子パワー $\omega$ を、求核攻撃に対する局所的な感度 $f^+(\mathbf{r})$（$\approx \rho_{\text{LUMO}}(\mathbf{r})$）に応じて空間各点に分配したものである。 反応性予測: $\omega(\mathbf{r})$ が大きな値を持つ領域は、求電子性が高く（大域的寄与）、かつ電子を受け入れやすい（局所的寄与）部位であるため、求核試薬による攻撃が最も起こりやすいサイトとして特定される。 ### 2. HSAB則・EE原理・反応選択性の統合 前節までに定義した各指標は、化学反応における「電荷移動（Charge Transfer）」と「分極（Polarization）」の競合を記述する統一的な枠組みを提供する。 #### 2.1 相互作用エネルギーの模式的分解 反応初期の相互作用エネルギー $\Delta E$ は、Klopman-Salem式をConceptual DFTの変数を用いて解釈することで、模式的に以下の二項の和として記述できる（厳密には閉殻反発項などが含まれる点に留意）。 $$\Delta E \approx -\frac{(\mu_A - \mu_B)^2}{2(\eta_A + \eta_B)} Q_{\text{trans}} + \text{Orbital Control Term} \tag{C2}$$ 電荷移動項（第一項）:化学ポテンシャル差 $\Delta \mu$（電気陰性度差）によって駆動される大域的なエネルギー安定化項である。硬度和 $\eta_A + \eta_B$ が分母にあるため、硬い系同士の反応ではこの項（静電的・イオン性相互作用）が支配的となる。 EE原理との関係: この項は、結合形成に伴い系全体の化学ポテンシャルが均等化する過程のエネルギー利得に相当する。 軌道支配項（第二項）:Fukui関数 $f(\mathbf{r})$ や局所軟度 $s(\mathbf{r})$ の重なり積分に依存する局所的な項である。軟らかい系同士の反応では、硬度（分母）が小さいため電荷移動も起こるが、フロンティア軌道相互作用による共有結合的な安定化が支配的となる。 HSAB則: 「軟らかい酸と軟らかい塩基の反応」は、この局所的な応答関数の最大化によって駆動される。ただし、現実の反応は必ずしも二分されるものではなく、多くの系において電荷制御と軌道制御の両方が寄与することに注意が必要である。 ### 3. 現代的計算手法への実装：GFN-xTBとML-QEq Parrらが確立した概念的DFTの指標は、現代の高速量子化学計算手法における基礎アルゴリズムあるいは物理的基盤として組み込まれている。 #### 3.1 GFN-xTB (Geometry, Frequency, Noncovalent, eXtended Tight Binding) Grimmeらによって開発された半経験的量子化学手法 GFN-xTB は、密度汎関数理論の物理的洞察に基づき設計されており、その電荷決定プロセスは概念的DFTと密接に関連している。 EEQモデルの実装 (GFN0-xTB):最も単純化されたバリエーションであるGFN0-xTBでは、系全体のエネルギーを原子電荷 $q_i$ の二次関数（DFTのエネルギー展開に対応）として記述し、電気陰性度均等化（EEQ）モデルを解くことで非反復的に原子電荷を決定する。 自己無撞着な電荷決定 (GFN2-xTB):より高精度なGFN2-xTBでは、多重極展開を含むハミルトニアンを用い、自己無撞着電荷（SCC）反復を通じて電子状態を決定する。このプロセスもまた、化学ポテンシャルの平衡化という物理的要請を満たすように収束する。 パラメータ: 各原子の電気陰性度 $\chi$ や硬度 $\eta$（Hubbardパラメータ $U$ に相当）は、原子番号および配位数に依存する形でパラメータ化されており、DFT計算に近い物理的描像を高速に再現する。 #### 3.2 機械学習によるパラメータ最適化 (ML-QEq) 古典的な電気陰性度均等化法（EEM/QEq）の課題であるパラメータの転用性（Transferability）を克服するため、近年では機械学習を用いたアプローチが採用されている。 ML-QEq: 固定パラメータを用いる代わりに、原子の局所的な化学環境記述子を入力とし、電気陰性度 $\chi_i$（および実装によっては硬度 $\eta_i$）をニューラルネットワーク等により動的に予測する。 意義: これにより、Parrらの定義した「原子の電気陰性度は環境に依存する」という理論的要請を、数値計算上で高精度かつ柔軟に再現することが可能となっている。 ### 4. 結論 1978年のParrらによる「電気陰性度のDFT定義」 に端を発する一連の理論体系（概念的DFT）は、以下の三層構造を成して現代化学に定着している。 基本原理: 変分原理に基づく $\chi = -\mu$ および $\eta$ の定義。 記述子: $\omega$, $f(\mathbf{r})$ , $s(\mathbf{r})$ 等を用いた反応性・選択性の定量予測。 実装: EE原理に基づく高速電荷計算（GFN-xTB等）および力場パラメータへの応用。 これらは、「直観的な化学概念」を「厳密な物理法則」へと昇華させ、さらに「実用的な計算ツール」へと展開させた成功例であるといえる。